31 Mar
2019

Línea tangentes a cuatro triángulos

Category:Aprendiendo

Página de origen: http://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/4triangles/index.html

H. Brönnimann, O. Devillers, S. Lazard y F. Sottile


Consideramos la siguiente pregunta geométrica simple: ¿Cuál es el número máximo de líneas que son tangentes a cuatro triángulos? (Es decir, estamos contando las líneas que coinciden con un borde de cada triángulo). Para simplificar, asumimos que los triángulos están en una posición general adecuada, en el sentido de que la relajación algebraica en la que reemplazamos los bordes por líneas de apoyo solo tiene muchas soluciones. . (De hecho 162 soluciones complejas distintas.)

Pedimos el número máximo posible, porque el mínimo es cero: si los cuatro triángulos están lo suficientemente separados, por ejemplo, en las cuatro esquinas de una habitación muy grande, entonces no habrá tales transversales comunes.

Actualmente, la mejor respuesta a esta pregunta es que el número máximo es entre 62 y 162, con un límite superior de 156 si los triángulos están separados. El límite superior casi seguramente no es el mejor posible, y también dudamos de la optimalidad del límite inferior. Este límite inferior se debe a una construcción que describimos en esta página (vinculada a la imagen de abajo a la derecha). Esta construcción implica la perturbación de cuatro segmentos de línea que tienen 2 transversales comunes, y cada uno de los triángulos resultantes tiene un ángulo extremadamente pequeño: son bastante delgados. Nuestra mejor construcción con cuatro triángulos de grasa tiene 40 transversales comunes. Una descripción de la búsqueda en la computadora que utilizamos para encontrar este ejemplo está vinculada a la imagen de la izquierda a continuación, así como a las animaciones.

Esta página de WWW acompaña nuestro artículo sobre este tema, En el número de líneas tangentes a cuatro triángulos en el espacio tridimensional..
Las imágenes están vinculadas a discusión posterior


Animaciones: 841 kB 2100 kB 4198 kB.
Animaciones: 86 kB 215 kB. 526 kB.

 


Basado en el trabajo apoyado por la National Science Foundation bajo la beca CAREER DMS-0134860.

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